x^2-7x-18=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 7 x - 18 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-2$$

$$x=9$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-7x-18 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=-18$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -18 ergeben.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-9 b=2$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-9\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-9=0 und x+2=0.

$$x=9 x=-2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-18 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=1\left(-18\right)=-18$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -18 ergeben.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-9 b=2$$

x^{2}-7x-18 als \left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-9\right)+2\left(x-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-9\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-9=0 und x+2=0.

$$x=9 x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-7x-18=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -7 und c durch -18, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-18\right)}}{2}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-18\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -18.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2}$$

Addieren Sie 49 zu 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±11}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±11}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu 11.

$$x=\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie 18 durch 2.

$$x=9$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±11}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von 7.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Dividieren Sie -4 durch 2.

$$x=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=9 x=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-7x-18=0$$

Addieren Sie 18 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-7x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Die Subtraktion von -18 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-18\right)$$

Subtrahieren Sie -18 von 0.

$$x^{2}-7x=18$$

Dividieren Sie -7, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=18+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=18+\frac{49}{4}$$

Addieren Sie 18 zu \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{11}{2}$$

Addieren Sie \frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=9 x=-2$$