x^2-5x-10=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 5 x - 10 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{65} + 5}{2} \approx 6,531128874$$

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}\approx -1,531128874$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-5x-10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -5 und c durch -10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-10\right)}}{2}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-10\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+40}}{2}$$

Addieren Sie 25 zu 40.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{65}}{2}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{65}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{65}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{65}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{65} von 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-5x-10=0$$

Addieren Sie 10 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-5x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Die Subtraktion von -10 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-5x=-\left(-10\right)$$

Subtrahieren Sie -10 von 0.

$$x^{2}-5x=10$$

Dividieren Sie -5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=10+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie 10 zu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{65}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{65}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{65}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{65}}{2}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{65}}{2}$$