x^2-5x=14 lösen

$$x ^ { 2 } - 5 x = 14$$

Nach x auflösen

$$x=-2$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Subtrahieren Sie 14 von beiden Seiten.

$$x^{2}-5x-14=0$$

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-5x-14 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=-14$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -14 ergeben.

$$1,-14 2,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-7 b=2$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-7\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x+2=0.

$$x=7 x=-2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 14 von beiden Seiten.

$$x^{2}-5x-14=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-14 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=1\left(-14\right)=-14$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -14 ergeben.

$$1,-14 2,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-7 b=2$$

x^{2}-5x-14 als \left(x^{2}-7x\right)+\left(2x-14\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(2x-14\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x+2=0.

$$x=7 x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-5x=14$$

14 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-5x-14=14-14$$

Die Subtraktion von 14 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-5x-14=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -5 und c durch -14, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-14\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -14.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+56}}{2}$$

Addieren Sie 25 zu 56.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{81}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±9}{2}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±9}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±9}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 9.

$$x=\frac{14}{2}$$

Dividieren Sie 14 durch 2.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±9}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von 5.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Dividieren Sie -4 durch 2.

$$x=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-5x=14$$

Dividieren Sie -5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=14+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie 14 zu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{9}{2}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=7 x=-2$$