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$\exponential{x}{2} - 5 x + 3 y = 20 $
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Diagramm

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x^{2}-5x+3y=20
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x^{2}-5x+3y-20=20-20
20 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x^{2}-5x+3y-20=0
Die Subtraktion von 20 von sich selbst ergibt 0.
x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(3y-20\right)}}{2}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -5 und c durch 3y-20, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(3y-20\right)}}{2}
-5 zum Quadrat.
x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+80-12y}}{2}
Multiplizieren Sie -4 mit 3y-20.
x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{105-12y}}{2}
Addieren Sie 25 zu -12y+80.
x=\frac{5±\sqrt{105-12y}}{2}
Das Gegenteil von -5 ist 5.
x=\frac{\sqrt{105-12y}+5}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{105-12y}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu \sqrt{105-12y}.
x=\frac{-\sqrt{105-12y}+5}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{105-12y}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{105-12y} von 5.
x=\frac{\sqrt{105-12y}+5}{2} x=\frac{-\sqrt{105-12y}+5}{2}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
x^{2}-5x+3y=20
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
x^{2}-5x+3y-3y=20-3y
3y von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x^{2}-5x=20-3y
Die Subtraktion von 3y von sich selbst ergibt 0.
x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=20-3y+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}
Dividieren Sie -5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}-5x+\frac{25}{4}=20-3y+\frac{25}{4}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{4}-3y
Addieren Sie 20-3y zu \frac{25}{4}.
\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{4}-3y
Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.
\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{4}-3y}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105-12y}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105-12y}}{2}
Vereinfachen.
x=\frac{\sqrt{105-12y}+5}{2} x=\frac{-\sqrt{105-12y}+5}{2}
Addieren Sie \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.
-5x+3y=20-x^{2}
Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.
3y=20-x^{2}+5x
Auf beiden Seiten 5x addieren.
3y=20+5x-x^{2}
Die Gleichung weist die Standardform auf.
\frac{3y}{3}=\frac{20+5x-x^{2}}{3}
Dividieren Sie beide Seiten durch 3.
y=\frac{20+5x-x^{2}}{3}
Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.