x^2-4x-21=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 4 x - 21 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-3$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-4x-21 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=-21$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -21 ergeben.

$$1,-21 3,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -4 ergibt.

$$a=-7 b=3$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x+3=0.

$$x=7 x=-3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-21 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=1\left(-21\right)=-21$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -21 ergeben.

$$1,-21 3,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -4 ergibt.

$$a=-7 b=3$$

x^{2}-4x-21 als \left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x+3=0.

$$x=7 x=-3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -4 und c durch -21, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-21\right)}}{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-21\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -21.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+84}}{2}$$

Addieren Sie 16 zu 84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±10}{2}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±10}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 10.

$$x=\frac{14}{2}$$

Dividieren Sie 14 durch 2.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±10}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von 4.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Dividieren Sie -6 durch 2.

$$x=-3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=-3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Addieren Sie 21 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-4x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Die Subtraktion von -21 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-21\right)$$

Subtrahieren Sie -21 von 0.

$$x^{2}-4x=21$$

Dividieren Sie -4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Addieren Sie 21 zu 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Faktor x^{2}-4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Vereinfachen.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=7 x=-3$$