x^2-3x-108? lösen

$$x ^ { 2 } - 3 x - 108 ?$$

Faktorisieren

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx-108 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -108 ergeben.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-12 b=9$$

x^{2}-3x-108 als \left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-12\right)+9\left(x-12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-108\right)}}{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-108\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+432}}{2}$$

Addieren Sie 9 zu 432.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{441}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 441.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±21}{2}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$x=\frac{3±21}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±21}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 21.

$$x=\frac{24}{2}$$

Dividieren Sie 24 durch 2.

$$x=12$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±21}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 21 von 3.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie -18 durch 2.

$$x=-9$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 12 und für x_{2} -9 ein.

$$x^{2}-3x-108=\left(x-12\right)\left(x-\left(-9\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$x^{2}-3x-108=\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Auswerten

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$