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x^{2}-3x+1=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -3 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}
-3 zum Quadrat.
x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}
Addieren Sie 9 zu -4.
x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}
Das Gegenteil von -3 ist 3.
x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu \sqrt{5}.
x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{5} von 3.
x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
x^{2}-3x+1=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
x^{2}-3x+1-1=-1
1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x^{2}-3x=-1
Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.
x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}
Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}
Addieren Sie -1 zu \frac{9}{4}.
\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}
Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}
Vereinfachen.
x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}
Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.