x^2-2x-5<0 lösen

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Für x lösen

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -2 und c durch -5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Damit das Produkt negativ ist, müssen x-\left(\sqrt{6}+1\right) und x-\left(1-\sqrt{6}\right) gegensätzliche Vorzeichen haben. Erwägen Sie den Fall, wenn x-\left(\sqrt{6}+1\right) positiv und x-\left(1-\sqrt{6}\right) negativ ist.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Dies ist falsch für alle x.

$$x\in \emptyset$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x-\left(1-\sqrt{6}\right) positiv und x-\left(\sqrt{6}+1\right) negativ ist.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$