x^2-18x=-65 lösen

$$x ^ { 2 } - 18 x = - 65$$

Nach x auflösen

$$x=5$$

$$x=13$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Auf beiden Seiten 65 addieren.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-18x+65 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-18 ab=65$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 65 ergeben.

$$-1,-65 -5,-13$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -18 ergibt.

$$a=-13 b=-5$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-13=0 und x-5=0.

$$x=13 x=5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Auf beiden Seiten 65 addieren.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+65 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-18 ab=1\times 65=65$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 65 ergeben.

$$-1,-65 -5,-13$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -18 ergibt.

$$a=-13 b=-5$$

x^{2}-18x+65 als \left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -5 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-13\right)-5\left(x-13\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-13 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-13=0 und x-5=0.

$$x=13 x=5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-18x=-65$$

Addieren Sie 65 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=-65-\left(-65\right)$$

Die Subtraktion von -65 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=0$$

Subtrahieren Sie -65 von 0.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -18 und c durch 65, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 65}}{2}$$

-18 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 65}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 65.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-260}}{2}$$

Addieren Sie 324 zu -260.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 64.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±8}{2}$$

Das Gegenteil von -18 ist 18.

$$x=\frac{18±8}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{18±8}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 18 zu 8.

$$x=\frac{26}{2}$$

Dividieren Sie 26 durch 2.

$$x=13$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{18±8}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8 von 18.

$$x=\frac{10}{2}$$

Dividieren Sie 10 durch 2.

$$x=5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=13 x=5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-18x=-65$$

Dividieren Sie -18, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -9 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -9 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=-65+\left(-9\right)^{2}$$

-9 zum Quadrat.

$$x^{2}-18x+81=-65+81$$

Addieren Sie -65 zu 81.

$$x^{2}-18x+81=16$$

Faktor x^{2}-18x+81. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-9\right)^{2}=16$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Vereinfachen.

$$x-9=4 x-9=-4$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=13 x=5$$