x^2-16x+57=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 16 x + 57 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{7}+8\approx 10,645751311$$

$$x=8-\sqrt{7}\approx 5,354248689$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-16x+57=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -16 und c durch 57, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 57}}{2}$$

-16 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 57}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 57.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-228}}{2}$$

Addieren Sie 256 zu -228.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{28}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 28.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±2\sqrt{7}}{2}$$

Das Gegenteil von -16 ist 16.

$$x=\frac{16±2\sqrt{7}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{16±2\sqrt{7}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 16 zu 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+16}{2}$$

Dividieren Sie 16+2\sqrt{7} durch 2.

$$x=\sqrt{7}+8$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{16±2\sqrt{7}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{7} von 16.

$$x=\frac{16-2\sqrt{7}}{2}$$

Dividieren Sie 16-2\sqrt{7} durch 2.

$$x=8-\sqrt{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{7}+8 x=8-\sqrt{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-16x+57=0$$

57 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-16x+57-57=-57$$

Die Subtraktion von 57 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-16x=-57$$

Dividieren Sie -16, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -8 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -8 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-57+\left(-8\right)^{2}$$

-8 zum Quadrat.

$$x^{2}-16x+64=-57+64$$

Addieren Sie -57 zu 64.

$$x^{2}-16x+64=7$$

Faktor x^{2}-16x+64. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-8\right)^{2}=7$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Vereinfachen.

$$x-8=\sqrt{7} x-8=-\sqrt{7}$$

Addieren Sie 8 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{7}+8 x=8-\sqrt{7}$$