x^2-16x+48=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 16 x + 48 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=4$$

$$x=12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-16x+48 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-16 ab=48$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 48 ergeben.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -16 ergibt.

$$a=-12 b=-4$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-12\right)\left(x-4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-12=0 und x-4=0.

$$x=12 x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+48 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-16 ab=1\times 48=48$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 48 ergeben.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -16 ergibt.

$$a=-12 b=-4$$

x^{2}-16x+48 als \left(x^{2}-12x\right)+\left(-4x+48\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(-4x+48\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-12\right)-4\left(x-12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-12\right)\left(x-4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-12=0 und x-4=0.

$$x=12 x=4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-16x+48=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -16 und c durch 48, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 48}}{2}$$

-16 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 48}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 48.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-192}}{2}$$

Addieren Sie 256 zu -192.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±8}{2}$$

Das Gegenteil von -16 ist 16.

$$x=\frac{16±8}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{16±8}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 16 zu 8.

$$x=\frac{24}{2}$$

Dividieren Sie 24 durch 2.

$$x=12$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{16±8}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8 von 16.

$$x=\frac{8}{2}$$

Dividieren Sie 8 durch 2.

$$x=4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=12 x=4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-16x+48=0$$

48 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-16x+48-48=-48$$

Die Subtraktion von 48 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-16x=-48$$

Dividieren Sie -16, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -8 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -8 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-48+\left(-8\right)^{2}$$

-8 zum Quadrat.

$$x^{2}-16x+64=-48+64$$

Addieren Sie -48 zu 64.

$$x^{2}-16x+64=16$$

Faktor x^{2}-16x+64. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-8\right)^{2}=16$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Vereinfachen.

$$x-8=4 x-8=-4$$

Addieren Sie 8 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=12 x=4$$