x^2-15x-9=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 15 x - 9 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{3 \sqrt{29} + 15}{2} \approx 15,577747211$$

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}\approx -0,577747211$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -15 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

-15 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+36}}{2}$$

Addieren Sie 225 zu 36.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{261}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 261.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{29}}{2}$$

Das Gegenteil von -15 ist 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 15 zu 3\sqrt{29}.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3\sqrt{29} von 15.

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-15x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Die Subtraktion von -9 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-15x=-\left(-9\right)$$

Subtrahieren Sie -9 von 0.

$$x^{2}-15x=9$$

Dividieren Sie -15, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{15}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{15}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=9+\frac{225}{4}$$

Addieren Sie 9 zu \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{261}{4}$$

Faktor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{261}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{261}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{3\sqrt{29}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{3\sqrt{29}}{2}$$

Addieren Sie \frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$