x^2-15x+100=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 15 x + 100 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}\approx 7,5+6,614378278i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}\approx 7,5-6,614378278i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-15x+100=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -15 und c durch 100, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 100}}{2}$$

-15 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 100}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 100.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-400}}{2}$$

Addieren Sie 225 zu -400.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-175}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -175.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±5\sqrt{7}i}{2}$$

Das Gegenteil von -15 ist 15.

$$x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 15 zu 5i\sqrt{7}.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5i\sqrt{7} von 15.

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-15x+100=0$$

100 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-15x+100-100=-100$$

Die Subtraktion von 100 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-15x=-100$$

Dividieren Sie -15, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{15}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{15}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-100+\frac{225}{4}$$

Addieren Sie -100 zu \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{175}{4}$$

Faktor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{175}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{175}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{7}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{7}i}{2}$$

Addieren Sie \frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$