x^2-14x+40=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 14 x + 40 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=4$$

$$x=10$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-14x+40 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-14 ab=40$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 40 ergeben.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -14 ergibt.

$$a=-10 b=-4$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-10=0 und x-4=0.

$$x=10 x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+40 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-14 ab=1\times 40=40$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 40 ergeben.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -14 ergibt.

$$a=-10 b=-4$$

x^{2}-14x+40 als \left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-10\right)-4\left(x-10\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-10 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-10=0 und x-4=0.

$$x=10 x=4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-14x+40=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -14 und c durch 40, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2}$$

Addieren Sie 196 zu -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±6}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±6}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 6.

$$x=\frac{20}{2}$$

Dividieren Sie 20 durch 2.

$$x=10$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±6}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6 von 14.

$$x=\frac{8}{2}$$

Dividieren Sie 8 durch 2.

$$x=4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=10 x=4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-14x+40=0$$

40 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-14x+40-40=-40$$

Die Subtraktion von 40 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-14x=-40$$

Dividieren Sie -14, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -7 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -7 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

-7 zum Quadrat.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Addieren Sie -40 zu 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Faktor x^{2}-14x+49. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Vereinfachen.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=10 x=4$$