x^2-13x+42=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=6$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-13x+42 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-13 ab=42$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 42 ergeben.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -13 ergibt.

$$a=-7 b=-6$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+42 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 42 ergeben.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -13 ergibt.

$$a=-7 b=-6$$

x^{2}-13x+42 als \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -6 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -13 und c durch 42, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

-13 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Addieren Sie 169 zu -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Das Gegenteil von -13 ist 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{13±1}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 13 zu 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Dividieren Sie 14 durch 2.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{13±1}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1 von 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie 12 durch 2.

$$x=6$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=6$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-13x+42=0$$

42 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Die Subtraktion von 42 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Dividieren Sie -13, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{13}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{13}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{13}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Addieren Sie -42 zu \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Addieren Sie \frac{13}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=7 x=6$$