x^2-12x-9=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 12 x - 9 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=3\sqrt{5}+6\approx 12,708203932$$

$$x=6-3\sqrt{5}\approx -0,708203932$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -12 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+36}}{2}$$

Addieren Sie 144 zu 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{180}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 180.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{5}}{2}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 6\sqrt{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{5}+12}{2}$$

Dividieren Sie 12+6\sqrt{5} durch 2.

$$x=3\sqrt{5}+6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6\sqrt{5} von 12.

$$x=\frac{12-6\sqrt{5}}{2}$$

Dividieren Sie 12-6\sqrt{5} durch 2.

$$x=6-3\sqrt{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-12x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Die Subtraktion von -9 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-12x=-\left(-9\right)$$

Subtrahieren Sie -9 von 0.

$$x^{2}-12x=9$$

Dividieren Sie -12, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -6 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -6 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=9+\left(-6\right)^{2}$$

-6 zum Quadrat.

$$x^{2}-12x+36=9+36$$

Addieren Sie 9 zu 36.

$$x^{2}-12x+36=45$$

Faktor x^{2}-12x+36. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-6\right)^{2}=45$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{45}$$

Vereinfachen.

$$x-6=3\sqrt{5} x-6=-3\sqrt{5}$$

Addieren Sie 6 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$