x^2-12x=-35 lösen

$$x ^ { 2 } - 12 x = - 35$$

Nach x auflösen

$$x=5$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Auf beiden Seiten 35 addieren.

$$x^{2}-12x+35=0$$

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-12x+35 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-12 ab=35$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 35 ergeben.

$$-1,-35 -5,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-35=-36 -5-7=-12$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -12 ergibt.

$$a=-7 b=-5$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-7\right)\left(x-5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x-5=0.

$$x=7 x=5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Auf beiden Seiten 35 addieren.

$$x^{2}-12x+35=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+35 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-12 ab=1\times 35=35$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 35 ergeben.

$$-1,-35 -5,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-35=-36 -5-7=-12$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -12 ergibt.

$$a=-7 b=-5$$

x^{2}-12x+35 als \left(x^{2}-7x\right)+\left(-5x+35\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-5x+35\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -5 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-7\right)-5\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(x-5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x-5=0.

$$x=7 x=5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-12x=-35$$

Addieren Sie 35 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-12x-\left(-35\right)=-35-\left(-35\right)$$

Die Subtraktion von -35 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-12x-\left(-35\right)=0$$

Subtrahieren Sie -35 von 0.

$$x^{2}-12x+35=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -12 und c durch 35, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 35}}{2}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 35}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 35.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-140}}{2}$$

Addieren Sie 144 zu -140.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{4}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2}{2}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±2}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±2}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 2.

$$x=\frac{14}{2}$$

Dividieren Sie 14 durch 2.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±2}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von 12.

$$x=\frac{10}{2}$$

Dividieren Sie 10 durch 2.

$$x=5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-12x=-35$$

Dividieren Sie -12, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -6 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -6 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-35+\left(-6\right)^{2}$$

-6 zum Quadrat.

$$x^{2}-12x+36=-35+36$$

Addieren Sie -35 zu 36.

$$x^{2}-12x+36=1$$

Faktor x^{2}-12x+36. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-6\right)^{2}=1$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Vereinfachen.

$$x-6=1 x-6=-1$$

Addieren Sie 6 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=7 x=5$$