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x^{2}-11x+28=0
Auf beiden Seiten 28 addieren.
a+b=-11 ab=28
Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-11x+28 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.
-1,-28 -2,-14 -4,-7
Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 28 ergeben.
-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11
Die Summe für jedes Paar berechnen.
a=-7 b=-4
Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.
\left(x-7\right)\left(x-4\right)
Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.
x=7 x=4
Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x-4=0.
x^{2}-11x+28=0
Auf beiden Seiten 28 addieren.
a+b=-11 ab=1\times 28=28
Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+28 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.
-1,-28 -2,-14 -4,-7
Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 28 ergeben.
-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11
Die Summe für jedes Paar berechnen.
a=-7 b=-4
Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.
\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)
x^{2}-11x+28 als \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right) umschreiben.
x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)
Klammern Sie x in der ersten und -4 in der zweiten Gruppe aus.
\left(x-7\right)\left(x-4\right)
Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.
x=7 x=4
Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x-4=0.
x^{2}-11x=-28
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x^{2}-11x-\left(-28\right)=-28-\left(-28\right)
Addieren Sie 28 zu beiden Seiten der Gleichung.
x^{2}-11x-\left(-28\right)=0
Die Subtraktion von -28 von sich selbst ergibt 0.
x^{2}-11x+28=0
Subtrahieren Sie -28 von 0.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -11 und c durch 28, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}
-11 zum Quadrat.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}
Multiplizieren Sie -4 mit 28.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}
Addieren Sie 121 zu -112.
x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.
x=\frac{11±3}{2}
Das Gegenteil von -11 ist 11.
x=\frac{14}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±3}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu 3.
x=7
Dividieren Sie 14 durch 2.
x=\frac{8}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±3}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von 11.
x=4
Dividieren Sie 8 durch 2.
x=7 x=4
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
x^{2}-11x=-28
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}
Dividieren Sie -11, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}
Addieren Sie -28 zu \frac{121}{4}.
\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}
Faktor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}
Vereinfachen.
x=7 x=4
Addieren Sie \frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.