x^2-11x=-28 lösen

$$x ^ { 2 } - 11 x = - 28$$

Nach x auflösen

$$x=4$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Auf beiden Seiten 28 addieren.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie x^{2}-11x+28 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=28$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 28 ergeben.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-7 b=-4$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Auf beiden Seiten 28 addieren.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+28 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 28 ergeben.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-7 b=-4$$

x^{2}-11x+28 als \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-11x=-28$$

Addieren Sie 28 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-11x-\left(-28\right)=-28-\left(-28\right)$$

Die Subtraktion von -28 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-11x-\left(-28\right)=0$$

Subtrahieren Sie -28 von 0.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -11 und c durch 28, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

-11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Addieren Sie 121 zu -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±3}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu 3.

$$x=\frac{14}{2}$$

Dividieren Sie 14 durch 2.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±3}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von 11.

$$x=\frac{8}{2}$$

Dividieren Sie 8 durch 2.

$$x=4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-11x=-28$$

Dividieren Sie -11, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Addieren Sie -28 zu \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Addieren Sie \frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=7 x=4$$