x^2-10x+90=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 10 x + 90 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=5+\sqrt{65}i\approx 5+8,062257748i$$

$$x=-\sqrt{65}i+5\approx 5-8,062257748i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -10 und c durch 90, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 90}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 90.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-360}}{2}$$

Addieren Sie 100 zu -360.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-260}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -260.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{65}i}{2}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 2i\sqrt{65}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{65}i}{2}$$

Dividieren Sie 10+2i\sqrt{65} durch 2.

$$x=5+\sqrt{65}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{65} von 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}i+10}{2}$$

Dividieren Sie 10-2i\sqrt{65} durch 2.

$$x=-\sqrt{65}i+5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-10x+90=0$$

90 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-10x+90-90=-90$$

Die Subtraktion von 90 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-10x=-90$$

Dividieren Sie -10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-90+\left(-5\right)^{2}$$

-5 zum Quadrat.

$$x^{2}-10x+25=-90+25$$

Addieren Sie -90 zu 25.

$$x^{2}-10x+25=-65$$

Faktor x^{2}-10x+25. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-5\right)^{2}=-65$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-65}$$

Vereinfachen.

$$x-5=\sqrt{65}i x-5=-\sqrt{65}i$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$