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$\exponential{x}{2} + x - 56 = 0 $
Nach x auflösen
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a+b=1 ab=-56
Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie x^{2}+x-56 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.
-1,56 -2,28 -4,14 -7,8
Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -56 ergeben.
-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1
Die Summe für jedes Paar berechnen.
a=-7 b=8
Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.
\left(x-7\right)\left(x+8\right)
Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.
x=7 x=-8
Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x+8=0.
a+b=1 ab=1\left(-56\right)=-56
Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-56 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.
-1,56 -2,28 -4,14 -7,8
Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -56 ergeben.
-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1
Die Summe für jedes Paar berechnen.
a=-7 b=8
Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.
\left(x^{2}-7x\right)+\left(8x-56\right)
x^{2}+x-56 als \left(x^{2}-7x\right)+\left(8x-56\right) umschreiben.
x\left(x-7\right)+8\left(x-7\right)
Klammern Sie x in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.
\left(x-7\right)\left(x+8\right)
Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.
x=7 x=-8
Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x+8=0.
x^{2}+x-56=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-56\right)}}{2}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 1 und c durch -56, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-56\right)}}{2}
1 zum Quadrat.
x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2}
Multiplizieren Sie -4 mit -56.
x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2}
Addieren Sie 1 zu 224.
x=\frac{-1±15}{2}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 225.
x=\frac{14}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±15}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 15.
x=7
Dividieren Sie 14 durch 2.
x=\frac{-16}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±15}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 15 von -1.
x=-8
Dividieren Sie -16 durch 2.
x=7 x=-8
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
x^{2}+x-56=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
x^{2}+x-56-\left(-56\right)=-\left(-56\right)
Addieren Sie 56 zu beiden Seiten der Gleichung.
x^{2}+x=-\left(-56\right)
Die Subtraktion von -56 von sich selbst ergibt 0.
x^{2}+x=56
Subtrahieren Sie -56 von 0.
x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=56+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+x+\frac{1}{4}=56+\frac{1}{4}
Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{225}{4}
Addieren Sie 56 zu \frac{1}{4}.
\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}
Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.
\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+\frac{1}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{15}{2}
Vereinfachen.
x=7 x=-8
\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.