x^2+x+1=3 lösen

$$x ^ { 2 } + x + 1 = 3$$

Nach x auflösen

$$x=-2$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Subtrahieren Sie 3 von beiden Seiten.

$$x^{2}+x+1-3=0$$

Subtrahieren Sie 3 von 1, um -2 zu erhalten.

$$x^{2}+x-2=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie x^{2}+x-2 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=-2$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-1 b=2$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 3 von beiden Seiten.

$$x^{2}+x+1-3=0$$

Subtrahieren Sie 3 von 1, um -2 zu erhalten.

$$x^{2}+x-2=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-1 b=2$$

x^{2}+x-2 als \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+x+1=3$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+x+1-3=3-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+x+1-3=0$$

Subtrahieren Sie 3 von 1.

$$x^{2}+x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 1 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2}$$

Addieren Sie 1 zu 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$x=\frac{-1±3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±3}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 3.

$$x=\frac{2}{2}$$

Dividieren Sie 2 durch 2.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±3}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von -1.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Dividieren Sie -4 durch 2.

$$x=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+x+1=3$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+x+1-1=3-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+x=3-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 3.

$$x^{2}+x=2$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 2 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=1 x=-2$$