x^2+8x=48 lösen

$$x ^ { 2 } + 8 x = 48$$

Nach x auflösen

$$x=-12$$

$$x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Subtrahieren Sie 48 von beiden Seiten.

$$x^{2}+8x-48=0$$

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+8x-48 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=8 ab=-48$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -48 ergeben.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 8 ergibt.

$$a=-4 b=12$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-4\right)\left(x+12\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und x+12=0.

$$x=4 x=-12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 48 von beiden Seiten.

$$x^{2}+8x-48=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-48 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=8 ab=1\left(-48\right)=-48$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -48 ergeben.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 8 ergibt.

$$a=-4 b=12$$

x^{2}+8x-48 als \left(x^{2}-4x\right)+\left(12x-48\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(12x-48\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 12 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-4\right)+12\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(x+12\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und x+12=0.

$$x=4 x=-12$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+8x=48$$

48 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+8x-48=48-48$$

Die Subtraktion von 48 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+8x-48=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 8 und c durch -48, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-48\right)}}{2}$$

8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-48\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -48.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2}$$

Addieren Sie 64 zu 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$x=\frac{-8±16}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±16}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 16.

$$x=\frac{8}{2}$$

Dividieren Sie 8 durch 2.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±16}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von -8.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Dividieren Sie -24 durch 2.

$$x=-12$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4 x=-12$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+8x=48$$

Dividieren Sie 8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+8x+4^{2}=48+4^{2}$$

4 zum Quadrat.

$$x^{2}+8x+16=48+16$$

Addieren Sie 48 zu 16.

$$x^{2}+8x+16=64$$

Faktor x^{2}+8x+16. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+4\right)^{2}=64$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Vereinfachen.

$$x+4=8 x+4=-8$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=4 x=-12$$