x^2+7x-78=42 lösen

$$x ^ { 2 } + 7 x - 78 = 42$$

Nach x auflösen

$$x=-15$$

$$x=8$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Subtrahieren Sie 42 von beiden Seiten.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Subtrahieren Sie 42 von -78, um -120 zu erhalten.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+7x-120 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=-120$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -120 ergeben.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=-8 b=15$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-8=0 und x+15=0.

$$x=8 x=-15$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 42 von beiden Seiten.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Subtrahieren Sie 42 von -78, um -120 zu erhalten.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-120 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=1\left(-120\right)=-120$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -120 ergeben.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=-8 b=15$$

x^{2}+7x-120 als \left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 15 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-8\right)+15\left(x-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-8=0 und x+15=0.

$$x=8 x=-15$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+7x-78=42$$

42 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+7x-78-42=42-42$$

Die Subtraktion von 42 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Subtrahieren Sie 42 von -78.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 7 und c durch -120, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-120\right)}}{2}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-120\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2}$$

Addieren Sie 49 zu 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 529.

$$x=\frac{-7±23}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±23}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu 23.

$$x=\frac{16}{2}$$

Dividieren Sie 16 durch 2.

$$x=8$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±23}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 23 von -7.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Dividieren Sie -30 durch 2.

$$x=-15$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=8 x=-15$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+7x-78=42$$

Addieren Sie 78 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+7x-78-\left(-78\right)=42-\left(-78\right)$$

Die Subtraktion von -78 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+7x=42-\left(-78\right)$$

Subtrahieren Sie -78 von 42.

$$x^{2}+7x=120$$

Dividieren Sie 7, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=120+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=120+\frac{49}{4}$$

Addieren Sie 120 zu \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{529}{4}$$

Faktor x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{23}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{23}{2}$$

\frac{7}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=8 x=-15$$