x^2+50x-30000=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 50 x - 30000 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-200$$

$$x=150$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie x^{2}+50x-30000 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=50 ab=-30000$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30000 ergeben.

$$-1,30000 -2,15000 -3,10000 -4,7500 -5,6000 -6,5000 -8,3750 -10,3000 -12,2500 -15,2000 -16,1875 -20,1500 -24,1250 -25,1200 -30,1000 -40,750 -48,625 -50,600 -60,500 -75,400 -80,375 -100,300 -120,250 -125,240 -150,200$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+30000=29999 -2+15000=14998 -3+10000=9997 -4+7500=7496 -5+6000=5995 -6+5000=4994 -8+3750=3742 -10+3000=2990 -12+2500=2488 -15+2000=1985 -16+1875=1859 -20+1500=1480 -24+1250=1226 -25+1200=1175 -30+1000=970 -40+750=710 -48+625=577 -50+600=550 -60+500=440 -75+400=325 -80+375=295 -100+300=200 -120+250=130 -125+240=115 -150+200=50$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 50 ergibt.

$$a=-150 b=200$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-150\right)\left(x+200\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-150=0 und x+200=0.

$$x=150 x=-200$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-30000 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=50 ab=1\left(-30000\right)=-30000$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30000 ergeben.

$$-1,30000 -2,15000 -3,10000 -4,7500 -5,6000 -6,5000 -8,3750 -10,3000 -12,2500 -15,2000 -16,1875 -20,1500 -24,1250 -25,1200 -30,1000 -40,750 -48,625 -50,600 -60,500 -75,400 -80,375 -100,300 -120,250 -125,240 -150,200$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+30000=29999 -2+15000=14998 -3+10000=9997 -4+7500=7496 -5+6000=5995 -6+5000=4994 -8+3750=3742 -10+3000=2990 -12+2500=2488 -15+2000=1985 -16+1875=1859 -20+1500=1480 -24+1250=1226 -25+1200=1175 -30+1000=970 -40+750=710 -48+625=577 -50+600=550 -60+500=440 -75+400=325 -80+375=295 -100+300=200 -120+250=130 -125+240=115 -150+200=50$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 50 ergibt.

$$a=-150 b=200$$

x^{2}+50x-30000 als \left(x^{2}-150x\right)+\left(200x-30000\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-150x\right)+\left(200x-30000\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 200 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-150\right)+200\left(x-150\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-150 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-150\right)\left(x+200\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-150=0 und x+200=0.

$$x=150 x=-200$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+50x-30000=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 50 und c durch -30000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-30000\right)}}{2}$$

50 zum Quadrat.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-30000\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -30000.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+120000}}{2}$$

Addieren Sie 2500 zu 120000.

$$x=\frac{-50±\sqrt{122500}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 122500.

$$x=\frac{-50±350}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-50±350}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -50 zu 350.

$$x=\frac{300}{2}$$

Dividieren Sie 300 durch 2.

$$x=150$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-50±350}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 350 von -50.

$$x=-\frac{400}{2}$$

Dividieren Sie -400 durch 2.

$$x=-200$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=150 x=-200$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+50x-30000=0$$

Addieren Sie 30000 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+50x-30000-\left(-30000\right)=-\left(-30000\right)$$

Die Subtraktion von -30000 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+50x=-\left(-30000\right)$$

Subtrahieren Sie -30000 von 0.

$$x^{2}+50x=30000$$

Dividieren Sie 50, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 25 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 25 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+50x+25^{2}=30000+25^{2}$$

25 zum Quadrat.

$$x^{2}+50x+625=30000+625$$

Addieren Sie 30000 zu 625.

$$x^{2}+50x+625=30625$$

Faktor x^{2}+50x+625. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+25\right)^{2}=30625$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+25\right)^{2}}=\sqrt{30625}$$

Vereinfachen.

$$x+25=175 x+25=-175$$

25 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=150 x=-200$$