x^2+5x=84 lösen

$$x ^ { 2 } + 5 x = 84$$

Nach x auflösen

$$x=-12$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Subtrahieren Sie 84 von beiden Seiten.

$$x^{2}+5x-84=0$$

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+5x-84 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=-84$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -84 ergeben.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-7 b=12$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-7\right)\left(x+12\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x+12=0.

$$x=7 x=-12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 84 von beiden Seiten.

$$x^{2}+5x-84=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-84 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=1\left(-84\right)=-84$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -84 ergeben.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-7 b=12$$

x^{2}+5x-84 als \left(x^{2}-7x\right)+\left(12x-84\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(12x-84\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 12 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-7\right)+12\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(x+12\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x+12=0.

$$x=7 x=-12$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+5x=84$$

84 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+5x-84=84-84$$

Die Subtraktion von 84 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+5x-84=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 5 und c durch -84, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-84\right)}}{2}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-84\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -84.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+336}}{2}$$

Addieren Sie 25 zu 336.

$$x=\frac{-5±\sqrt{361}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$x=\frac{-5±19}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±19}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 19.

$$x=\frac{14}{2}$$

Dividieren Sie 14 durch 2.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±19}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von -5.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Dividieren Sie -24 durch 2.

$$x=-12$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=-12$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+5x=84$$

Dividieren Sie 5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=84+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie 84 zu \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{19}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{19}{2}$$

\frac{5}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=7 x=-12$$