x^2+51/2x+6=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 5 \frac { 1 } { 2 } x + 6 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-4$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.

$$2x^{2}+\left(5\times 2+1\right)x+12=0$$

Multiplizieren Sie 5 und 2, um 10 zu erhalten.

$$2x^{2}+\left(10+1\right)x+12=0$$

Addieren Sie 10 und 1, um 11 zu erhalten.

$$2x^{2}+11x+12=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx+12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=11 ab=2\times 12=24$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 24 ergeben.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 11 ergibt.

$$a=3 b=8$$

2x^{2}+11x+12 als \left(2x^{2}+3x\right)+\left(8x+12\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(8x+12\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(2x+3\right)+4\left(2x+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x+3\right)\left(x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x+3=0 und x+4=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.

$$2x^{2}+\left(5\times 2+1\right)x+12=0$$

Multiplizieren Sie 5 und 2, um 10 zu erhalten.

$$2x^{2}+\left(10+1\right)x+12=0$$

Addieren Sie 10 und 1, um 11 zu erhalten.

$$2x^{2}+11x+12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 11 und c durch 12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 12}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 121 zu -96.

$$x=\frac{-11±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$x=\frac{-11±5}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-11±5}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±5}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -11 zu 5.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±5}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von -11.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie -16 durch 4.

$$x=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{3}{2} x=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.

$$2x^{2}+\left(5\times 2+1\right)x+12=0$$

Multiplizieren Sie 5 und 2, um 10 zu erhalten.

$$2x^{2}+\left(10+1\right)x+12=0$$

Addieren Sie 10 und 1, um 11 zu erhalten.

$$2x^{2}+11x+12=0$$

Subtrahieren Sie 12 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$2x^{2}+11x=-12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+11x}{2}=-\frac{12}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{11}{2}x=-\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie -12 durch 2.

$$x^{2}+\frac{11}{2}x=-6$$

Dividieren Sie \frac{11}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{11}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{11}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{2}x+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}=-6+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{11}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-6+\frac{121}{16}$$

Addieren Sie -6 zu \frac{121}{16}.

$$x^{2}+\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{25}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{11}{4}=\frac{5}{4} x+\frac{11}{4}=-\frac{5}{4}$$

\frac{11}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{3}{2} x=-4$$