x^2+4x-7=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 4 x - 7 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\sqrt{11}-2\approx 1,31662479$$

$$x=-\left(\sqrt{11}+2\right)\approx -5,31662479$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+4x-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 4 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-7\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+28}}{2}$$

Addieren Sie 16 zu 28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{44}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 44.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-4}{2}$$

Dividieren Sie -4+2\sqrt{11} durch 2.

$$x=\sqrt{11}-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{11} von -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-4}{2}$$

Dividieren Sie -4-2\sqrt{11} durch 2.

$$x=-\sqrt{11}-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{11}-2 x=-\sqrt{11}-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+4x-7=0$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$x^{2}+4x=7$$

Dividieren Sie 4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+4x+2^{2}=7+2^{2}$$

2 zum Quadrat.

$$x^{2}+4x+4=7+4$$

Addieren Sie 7 zu 4.

$$x^{2}+4x+4=11$$

Faktor x^{2}+4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+2\right)^{2}=11$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

Vereinfachen.

$$x+2=\sqrt{11} x+2=-\sqrt{11}$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{11}-2 x=-\sqrt{11}-2$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{11}-2\approx 1,31662479$$

$$x=-\sqrt{11}-2\approx -5,31662479$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+4x-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 4 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-7\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+28}}{2}$$

Addieren Sie 16 zu 28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{44}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 44.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-4}{2}$$

Dividieren Sie -4+2\sqrt{11} durch 2.

$$x=\sqrt{11}-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{11} von -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-4}{2}$$

Dividieren Sie -4-2\sqrt{11} durch 2.

$$x=-\sqrt{11}-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{11}-2 x=-\sqrt{11}-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+4x-7=0$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$x^{2}+4x=7$$

Dividieren Sie 4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+4x+2^{2}=7+2^{2}$$

2 zum Quadrat.

$$x^{2}+4x+4=7+4$$

Addieren Sie 7 zu 4.

$$x^{2}+4x+4=11$$

Faktor x^{2}+4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+2\right)^{2}=11$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

Vereinfachen.

$$x+2=\sqrt{11} x+2=-\sqrt{11}$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{11}-2 x=-\sqrt{11}-2$$