x^2+4x-45=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 4 x - 45 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-9$$

$$x=5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie x^{2}+4x-45 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=-45$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -45 ergeben.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 4 ergibt.

$$a=-5 b=9$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-5\right)\left(x+9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-5=0 und x+9=0.

$$x=5 x=-9$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-45 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=1\left(-45\right)=-45$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -45 ergeben.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 4 ergibt.

$$a=-5 b=9$$

x^{2}+4x-45 als \left(x^{2}-5x\right)+\left(9x-45\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(9x-45\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-5\right)+9\left(x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-5\right)\left(x+9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-5=0 und x+9=0.

$$x=5 x=-9$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+4x-45=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 4 und c durch -45, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-45\right)}}{2}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-45\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -45.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2}$$

Addieren Sie 16 zu 180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.

$$x=\frac{-4±14}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±14}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 14.

$$x=\frac{10}{2}$$

Dividieren Sie 10 durch 2.

$$x=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±14}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von -4.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie -18 durch 2.

$$x=-9$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=5 x=-9$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+4x-45=0$$

Addieren Sie 45 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+4x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Die Subtraktion von -45 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-45\right)$$

Subtrahieren Sie -45 von 0.

$$x^{2}+4x=45$$

Dividieren Sie 4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+4x+2^{2}=45+2^{2}$$

2 zum Quadrat.

$$x^{2}+4x+4=45+4$$

Addieren Sie 45 zu 4.

$$x^{2}+4x+4=49$$

Faktor x^{2}+4x+4. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+2\right)^{2}=49$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Vereinfachen.

$$x+2=7 x+2=-7$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=5 x=-9$$