x^2+30x-18000=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 30 x - 18000 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-150$$

$$x=120$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie x^{2}+30x-18000 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=30 ab=-18000$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -18000 ergeben.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 30 ergibt.

$$a=-120 b=150$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-120=0 und x+150=0.

$$x=120 x=-150$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-18000 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=30 ab=1\left(-18000\right)=-18000$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -18000 ergeben.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 30 ergibt.

$$a=-120 b=150$$

x^{2}+30x-18000 als \left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 150 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-120\right)+150\left(x-120\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-120 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-120=0 und x+150=0.

$$x=120 x=-150$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 30 und c durch -18000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-18000\right)}}{2}$$

30 zum Quadrat.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-18000\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -18000.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+72000}}{2}$$

Addieren Sie 900 zu 72000.

$$x=\frac{-30±\sqrt{72900}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 72900.

$$x=\frac{-30±270}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-30±270}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -30 zu 270.

$$x=\frac{240}{2}$$

Dividieren Sie 240 durch 2.

$$x=120$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-30±270}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 270 von -30.

$$x=-\frac{300}{2}$$

Dividieren Sie -300 durch 2.

$$x=-150$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=120 x=-150$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

Addieren Sie 18000 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+30x-18000-\left(-18000\right)=-\left(-18000\right)$$

Die Subtraktion von -18000 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+30x=-\left(-18000\right)$$

Subtrahieren Sie -18000 von 0.

$$x^{2}+30x=18000$$

Dividieren Sie 30, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 15 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 15 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+30x+15^{2}=18000+15^{2}$$

15 zum Quadrat.

$$x^{2}+30x+225=18000+225$$

Addieren Sie 18000 zu 225.

$$x^{2}+30x+225=18225$$

Faktor x^{2}+30x+225. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+15\right)^{2}=18225$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+15\right)^{2}}=\sqrt{18225}$$

Vereinfachen.

$$x+15=135 x+15=-135$$

15 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=120 x=-150$$