x^2+3x-11=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 3 x - 11 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{53} - 3}{2} \approx 2,140054945$$

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}\approx -5,140054945$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 3 und c durch -11, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-11\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2}$$

Addieren Sie 9 zu 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{53} von -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Addieren Sie 11 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+3x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Die Subtraktion von -11 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+3x=-\left(-11\right)$$

Subtrahieren Sie -11 von 0.

$$x^{2}+3x=11$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 11 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$