x^2+25x=-84 lösen

$$x ^ { 2 } + 25 x = - 84$$

Nach x auflösen

$$x=-21$$

$$x=-4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Auf beiden Seiten 84 addieren.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+25x+84 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=25 ab=84$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 84 ergeben.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 25 ergibt.

$$a=4 b=21$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x+4=0 und x+21=0.

$$x=-4 x=-21$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Auf beiden Seiten 84 addieren.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+84 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=25 ab=1\times 84=84$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 84 ergeben.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 25 ergibt.

$$a=4 b=21$$

x^{2}+25x+84 als \left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 21 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x+4\right)+21\left(x+4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x+4=0 und x+21=0.

$$x=-4 x=-21$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+25x=-84$$

Addieren Sie 84 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=-84-\left(-84\right)$$

Die Subtraktion von -84 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=0$$

Subtrahieren Sie -84 von 0.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 25 und c durch 84, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 84}}{2}$$

25 zum Quadrat.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 84}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 84.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-336}}{2}$$

Addieren Sie 625 zu -336.

$$x=\frac{-25±\sqrt{289}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 289.

$$x=\frac{-25±17}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-25±17}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -25 zu 17.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Dividieren Sie -8 durch 2.

$$x=-4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-25±17}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 17 von -25.

$$x=-\frac{42}{2}$$

Dividieren Sie -42 durch 2.

$$x=-21$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-4 x=-21$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+25x=-84$$

Dividieren Sie 25, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{25}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{25}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-84+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{25}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-84+\frac{625}{4}$$

Addieren Sie -84 zu \frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{289}{4}$$

Faktor x^{2}+25x+\frac{625}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{17}{2}$$

\frac{25}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-4 x=-21$$