Nach x auflösen (komplexe Lösung)
x=\sqrt{145}-10\approx 2,041594579
x=-\left(\sqrt{145}+10\right)\approx -22,041594579
Nach x auflösen
x=\sqrt{145}-10\approx 2,041594579
x=-\sqrt{145}-10\approx -22,041594579
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x^{2}+20x=45
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x^{2}+20x-45=45-45
45 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x^{2}+20x-45=0
Die Subtraktion von 45 von sich selbst ergibt 0.
x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-45\right)}}{2}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 20 und c durch -45, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-45\right)}}{2}
20 zum Quadrat.
x=\frac{-20±\sqrt{400+180}}{2}
Multiplizieren Sie -4 mit -45.
x=\frac{-20±\sqrt{580}}{2}
Addieren Sie 400 zu 180.
x=\frac{-20±2\sqrt{145}}{2}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 580.
x=\frac{2\sqrt{145}-20}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±2\sqrt{145}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 2\sqrt{145}.
x=\sqrt{145}-10
Dividieren Sie -20+2\sqrt{145} durch 2.
x=\frac{-2\sqrt{145}-20}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±2\sqrt{145}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{145} von -20.
x=-\sqrt{145}-10
Dividieren Sie -20-2\sqrt{145} durch 2.
x=\sqrt{145}-10 x=-\sqrt{145}-10
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
x^{2}+20x=45
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
x^{2}+20x+10^{2}=45+10^{2}
Dividieren Sie 20, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 10 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 10 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+20x+100=45+100
10 zum Quadrat.
x^{2}+20x+100=145
Addieren Sie 45 zu 100.
\left(x+10\right)^{2}=145
Faktor x^{2}+20x+100. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{145}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+10=\sqrt{145} x+10=-\sqrt{145}
Vereinfachen.
x=\sqrt{145}-10 x=-\sqrt{145}-10
10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x^{2}+20x=45
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x^{2}+20x-45=45-45
45 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x^{2}+20x-45=0
Die Subtraktion von 45 von sich selbst ergibt 0.
x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-45\right)}}{2}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 20 und c durch -45, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-45\right)}}{2}
20 zum Quadrat.
x=\frac{-20±\sqrt{400+180}}{2}
Multiplizieren Sie -4 mit -45.
x=\frac{-20±\sqrt{580}}{2}
Addieren Sie 400 zu 180.
x=\frac{-20±2\sqrt{145}}{2}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 580.
x=\frac{2\sqrt{145}-20}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±2\sqrt{145}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 2\sqrt{145}.
x=\sqrt{145}-10
Dividieren Sie -20+2\sqrt{145} durch 2.
x=\frac{-2\sqrt{145}-20}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±2\sqrt{145}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{145} von -20.
x=-\sqrt{145}-10
Dividieren Sie -20-2\sqrt{145} durch 2.
x=\sqrt{145}-10 x=-\sqrt{145}-10
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
x^{2}+20x=45
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
x^{2}+20x+10^{2}=45+10^{2}
Dividieren Sie 20, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 10 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 10 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+20x+100=45+100
10 zum Quadrat.
x^{2}+20x+100=145
Addieren Sie 45 zu 100.
\left(x+10\right)^{2}=145
Faktor x^{2}+20x+100. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{145}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+10=\sqrt{145} x+10=-\sqrt{145}
Vereinfachen.
x=\sqrt{145}-10 x=-\sqrt{145}-10
10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
Beispiele
Quadratische Gleichung
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineare Gleichung
y = 3x + 4
Arithmetisch
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Simultane Gleichung
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenzierung
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenzwerte
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}