x^2+20x+75=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 20 x + 75 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-15$$

$$x=-5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie x^{2}+20x+75 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=20 ab=75$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 75 ergeben.

$$1,75 3,25 5,15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 20 ergibt.

$$a=5 b=15$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x+5=0 und x+15=0.

$$x=-5 x=-15$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+75 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=20 ab=1\times 75=75$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 75 ergeben.

$$1,75 3,25 5,15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 20 ergibt.

$$a=5 b=15$$

x^{2}+20x+75 als \left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 15 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x+5\right)+15\left(x+5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x+5=0 und x+15=0.

$$x=-5 x=-15$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 20 und c durch 75, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 75}}{2}$$

20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 75}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 75.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-300}}{2}$$

Addieren Sie 400 zu -300.

$$x=\frac{-20±\sqrt{100}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$x=\frac{-20±10}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±10}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 10.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Dividieren Sie -10 durch 2.

$$x=-5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±10}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von -20.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Dividieren Sie -30 durch 2.

$$x=-15$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-5 x=-15$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+20x+75=0$$

75 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+20x+75-75=-75$$

Die Subtraktion von 75 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+20x=-75$$

Dividieren Sie 20, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 10 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 10 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+20x+10^{2}=-75+10^{2}$$

10 zum Quadrat.

$$x^{2}+20x+100=-75+100$$

Addieren Sie -75 zu 100.

$$x^{2}+20x+100=25$$

Faktor x^{2}+20x+100. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+10\right)^{2}=25$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Vereinfachen.

$$x+10=5 x+10=-5$$

10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-5 x=-15$$