x^2+2x-15=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 2 x - 15 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-5$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+2x-15 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=2 ab=-15$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -15 ergeben.

$$-1,15 -3,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 2 ergibt.

$$a=-3 b=5$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -15 ergeben.

$$-1,15 -3,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 2 ergibt.

$$a=-3 b=5$$

x^{2}+2x-15 als \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 2 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-15\right)}}{2}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-15\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2}$$

Addieren Sie 4 zu 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 64.

$$x=\frac{-2±8}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±8}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 8.

$$x=\frac{6}{2}$$

Dividieren Sie 6 durch 2.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±8}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8 von -2.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Dividieren Sie -10 durch 2.

$$x=-5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3 x=-5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Addieren Sie 15 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+2x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Die Subtraktion von -15 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+2x=-\left(-15\right)$$

Subtrahieren Sie -15 von 0.

$$x^{2}+2x=15$$

Dividieren Sie 2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

1 zum Quadrat.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Addieren Sie 15 zu 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Faktor x^{2}+2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Vereinfachen.

$$x+1=4 x+1=-4$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=3 x=-5$$