x^2+2x=1 lösen

$$x ^ { 2 } + 2 x = 1$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\sqrt{2}-1\approx 0,414213562$$

$$x=-\left(\sqrt{2}+1\right)\approx -2,414213562$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+2x=1$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+2x-1=1-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+2x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 2 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

Addieren Sie 4 zu 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{2} durch 2.

$$x=\sqrt{2}-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{2} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{2} durch 2.

$$x=-\sqrt{2}-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+2x=1$$

Dividieren Sie 2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=1+1^{2}$$

1 zum Quadrat.

$$x^{2}+2x+1=1+1$$

Addieren Sie 1 zu 1.

$$x^{2}+2x+1=2$$

Faktor x^{2}+2x+1. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+1\right)^{2}=2$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Vereinfachen.

$$x+1=\sqrt{2} x+1=-\sqrt{2}$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{2}-1\approx 0,414213562$$

$$x=-\sqrt{2}-1\approx -2,414213562$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+2x=1$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+2x-1=1-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+2x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 2 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

Addieren Sie 4 zu 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{2} durch 2.

$$x=\sqrt{2}-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{2} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{2} durch 2.

$$x=-\sqrt{2}-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+2x=1$$

Dividieren Sie 2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=1+1^{2}$$

1 zum Quadrat.

$$x^{2}+2x+1=1+1$$

Addieren Sie 1 zu 1.

$$x^{2}+2x+1=2$$

Faktor x^{2}+2x+1. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+1\right)^{2}=2$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Vereinfachen.

$$x+1=\sqrt{2} x+1=-\sqrt{2}$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$