x^2+2x+3=7 lösen

$$x ^ { 2 } + 2 x + 3 = 7$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)\approx -3,236067977$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+2x+3=7$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+2x+3-7=7-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+2x+3-7=0$$

Subtrahieren Sie 7 von 3.

$$x^{2}+2x-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 2 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2}$$

Addieren Sie 4 zu 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 20.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{2}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{5} durch 2.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{5} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{2}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{5} durch 2.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+2x+3=7$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+2x+3-3=7-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+2x=7-3$$

Subtrahieren Sie 3 von 7.

$$x^{2}+2x=4$$

Dividieren Sie 2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

1 zum Quadrat.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Addieren Sie 4 zu 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Faktor x^{2}+2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Vereinfachen.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-1\approx -3,236067977$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+2x+3=7$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+2x+3-7=7-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+2x+3-7=0$$

Subtrahieren Sie 7 von 3.

$$x^{2}+2x-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 2 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2}$$

Addieren Sie 4 zu 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 20.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{2}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{5} durch 2.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{5} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{2}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{5} durch 2.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+2x+3=7$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+2x+3-3=7-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+2x=7-3$$

Subtrahieren Sie 3 von 7.

$$x^{2}+2x=4$$

Dividieren Sie 2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

1 zum Quadrat.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Addieren Sie 4 zu 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Faktor x^{2}+2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Vereinfachen.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$