x^2+19x+78 lösen

$$x ^ { 2 } + 19 x + 78$$

Faktorisieren

$$\left(x+6\right)\left(x+13\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx+78 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=19 ab=1\times 78=78$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 78 ergeben.

$$1,78 2,39 3,26 6,13$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+78=79 2+39=41 3+26=29 6+13=19$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 19 ergibt.

$$a=6 b=13$$

x^{2}+19x+78 als \left(x^{2}+6x\right)+\left(13x+78\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(13x+78\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 13 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x+6\right)+13\left(x+6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+6\right)\left(x+13\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$x^{2}+19x+78=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 78}}{2}$$

19 zum Quadrat.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 78}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 78.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-312}}{2}$$

Addieren Sie 361 zu -312.

$$x=\frac{-19±\sqrt{49}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-19±7}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-19±7}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -19 zu 7.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie -12 durch 2.

$$x=-6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-19±7}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von -19.

$$x=-\frac{26}{2}$$

Dividieren Sie -26 durch 2.

$$x=-13$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -6 und für x_{2} -13 ein.

$$x^{2}+19x+78=\left(x-\left(-6\right)\right)\left(x-\left(-13\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$x^{2}+19x+78=\left(x+6\right)\left(x+13\right)$$

Auswerten

$$\left(x+6\right)\left(x+13\right)$$