x^2+16x-512=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 16 x - 512 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-32$$

$$x=16$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+16x-512 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=16 ab=-512$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -512 ergeben.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 16 ergibt.

$$a=-16 b=32$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-16=0 und x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-512 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=16 ab=1\left(-512\right)=-512$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -512 ergeben.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 16 ergibt.

$$a=-16 b=32$$

x^{2}+16x-512 als \left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 32 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-16\right)+32\left(x-16\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-16 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-16=0 und x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 16 und c durch -512, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-512\right)}}{2}$$

16 zum Quadrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-512\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -512.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+2048}}{2}$$

Addieren Sie 256 zu 2048.

$$x=\frac{-16±\sqrt{2304}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2304.

$$x=\frac{-16±48}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±48}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -16 zu 48.

$$x=\frac{32}{2}$$

Dividieren Sie 32 durch 2.

$$x=16$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±48}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 48 von -16.

$$x=-\frac{64}{2}$$

Dividieren Sie -64 durch 2.

$$x=-32$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=16 x=-32$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Addieren Sie 512 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+16x-512-\left(-512\right)=-\left(-512\right)$$

Die Subtraktion von -512 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+16x=-\left(-512\right)$$

Subtrahieren Sie -512 von 0.

$$x^{2}+16x=512$$

Dividieren Sie 16, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 8 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 8 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+16x+8^{2}=512+8^{2}$$

8 zum Quadrat.

$$x^{2}+16x+64=512+64$$

Addieren Sie 512 zu 64.

$$x^{2}+16x+64=576$$

Faktor x^{2}+16x+64. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+8\right)^{2}=576$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

Vereinfachen.

$$x+8=24 x+8=-24$$

8 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=16 x=-32$$