x^2+15x-2700=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 15 x - 2700 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-60$$

$$x=45$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+15x-2700 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=15 ab=-2700$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -2700 ergeben.

$$-1,2700 -2,1350 -3,900 -4,675 -5,540 -6,450 -9,300 -10,270 -12,225 -15,180 -18,150 -20,135 -25,108 -27,100 -30,90 -36,75 -45,60 -50,54$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+2700=2699 -2+1350=1348 -3+900=897 -4+675=671 -5+540=535 -6+450=444 -9+300=291 -10+270=260 -12+225=213 -15+180=165 -18+150=132 -20+135=115 -25+108=83 -27+100=73 -30+90=60 -36+75=39 -45+60=15 -50+54=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 15 ergibt.

$$a=-45 b=60$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-45\right)\left(x+60\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-45=0 und x+60=0.

$$x=45 x=-60$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-2700 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=15 ab=1\left(-2700\right)=-2700$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -2700 ergeben.

$$-1,2700 -2,1350 -3,900 -4,675 -5,540 -6,450 -9,300 -10,270 -12,225 -15,180 -18,150 -20,135 -25,108 -27,100 -30,90 -36,75 -45,60 -50,54$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+2700=2699 -2+1350=1348 -3+900=897 -4+675=671 -5+540=535 -6+450=444 -9+300=291 -10+270=260 -12+225=213 -15+180=165 -18+150=132 -20+135=115 -25+108=83 -27+100=73 -30+90=60 -36+75=39 -45+60=15 -50+54=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 15 ergibt.

$$a=-45 b=60$$

x^{2}+15x-2700 als \left(x^{2}-45x\right)+\left(60x-2700\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-45x\right)+\left(60x-2700\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 60 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-45\right)+60\left(x-45\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-45 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-45\right)\left(x+60\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-45=0 und x+60=0.

$$x=45 x=-60$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+15x-2700=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 15 und c durch -2700, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\left(-2700\right)}}{2}$$

15 zum Quadrat.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\left(-2700\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2700.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+10800}}{2}$$

Addieren Sie 225 zu 10800.

$$x=\frac{-15±\sqrt{11025}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 11025.

$$x=\frac{-15±105}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-15±105}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -15 zu 105.

$$x=\frac{90}{2}$$

Dividieren Sie 90 durch 2.

$$x=45$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-15±105}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 105 von -15.

$$x=-\frac{120}{2}$$

Dividieren Sie -120 durch 2.

$$x=-60$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=45 x=-60$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+15x-2700=0$$

Addieren Sie 2700 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+15x-2700-\left(-2700\right)=-\left(-2700\right)$$

Die Subtraktion von -2700 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+15x=-\left(-2700\right)$$

Subtrahieren Sie -2700 von 0.

$$x^{2}+15x=2700$$

Dividieren Sie 15, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{15}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=2700+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{15}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=2700+\frac{225}{4}$$

Addieren Sie 2700 zu \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{11025}{4}$$

Faktor x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{11025}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11025}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{105}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{105}{2}$$

\frac{15}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=45 x=-60$$