x^2+14x-12=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 14 x - 12 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\sqrt{61}-7\approx 0,810249676$$

$$x=-\left(\sqrt{61}+7\right)\approx -14,810249676$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+14x-12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 14 und c durch -12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-12\right)}}{2}$$

14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-12\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -12.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+48}}{2}$$

Addieren Sie 196 zu 48.

$$x=\frac{-14±\sqrt{244}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 244.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{61}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±2\sqrt{61}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -14 zu 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}-14}{2}$$

Dividieren Sie -14+2\sqrt{61} durch 2.

$$x=\sqrt{61}-7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±2\sqrt{61}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{61} von -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{61}-14}{2}$$

Dividieren Sie -14-2\sqrt{61} durch 2.

$$x=-\sqrt{61}-7$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{61}-7 x=-\sqrt{61}-7$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+14x-12=0$$

Addieren Sie 12 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+14x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Die Subtraktion von -12 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+14x=-\left(-12\right)$$

Subtrahieren Sie -12 von 0.

$$x^{2}+14x=12$$

Dividieren Sie 14, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 7 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 7 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+14x+7^{2}=12+7^{2}$$

7 zum Quadrat.

$$x^{2}+14x+49=12+49$$

Addieren Sie 12 zu 49.

$$x^{2}+14x+49=61$$

Faktor x^{2}+14x+49. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+7\right)^{2}=61$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{61}$$

Vereinfachen.

$$x+7=\sqrt{61} x+7=-\sqrt{61}$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{61}-7 x=-\sqrt{61}-7$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{61}-7\approx 0,810249676$$

$$x=-\sqrt{61}-7\approx -14,810249676$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+14x-12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 14 und c durch -12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-12\right)}}{2}$$

14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-12\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -12.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+48}}{2}$$

Addieren Sie 196 zu 48.

$$x=\frac{-14±\sqrt{244}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 244.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{61}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±2\sqrt{61}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -14 zu 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}-14}{2}$$

Dividieren Sie -14+2\sqrt{61} durch 2.

$$x=\sqrt{61}-7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±2\sqrt{61}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{61} von -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{61}-14}{2}$$

Dividieren Sie -14-2\sqrt{61} durch 2.

$$x=-\sqrt{61}-7$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{61}-7 x=-\sqrt{61}-7$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+14x-12=0$$

Addieren Sie 12 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+14x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Die Subtraktion von -12 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+14x=-\left(-12\right)$$

Subtrahieren Sie -12 von 0.

$$x^{2}+14x=12$$

Dividieren Sie 14, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 7 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 7 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+14x+7^{2}=12+7^{2}$$

7 zum Quadrat.

$$x^{2}+14x+49=12+49$$

Addieren Sie 12 zu 49.

$$x^{2}+14x+49=61$$

Faktor x^{2}+14x+49. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+7\right)^{2}=61$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{61}$$

Vereinfachen.

$$x+7=\sqrt{61} x+7=-\sqrt{61}$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{61}-7 x=-\sqrt{61}-7$$