x^2+14x+45=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 14 x + 45 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-9$$

$$x=-5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+14x+45 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=14 ab=45$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 45 ergeben.

$$1,45 3,15 5,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 14 ergibt.

$$a=5 b=9$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x+5=0 und x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+45 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=14 ab=1\times 45=45$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 45 ergeben.

$$1,45 3,15 5,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 14 ergibt.

$$a=5 b=9$$

x^{2}+14x+45 als \left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x+5\right)+9\left(x+5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x+5=0 und x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+14x+45=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 14 und c durch 45, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 45}}{2}$$

14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 45}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 45.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-180}}{2}$$

Addieren Sie 196 zu -180.

$$x=\frac{-14±\sqrt{16}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$x=\frac{-14±4}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±4}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -14 zu 4.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Dividieren Sie -10 durch 2.

$$x=-5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±4}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von -14.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie -18 durch 2.

$$x=-9$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-5 x=-9$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+14x+45=0$$

45 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+14x+45-45=-45$$

Die Subtraktion von 45 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+14x=-45$$

Dividieren Sie 14, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 7 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 7 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+14x+7^{2}=-45+7^{2}$$

7 zum Quadrat.

$$x^{2}+14x+49=-45+49$$

Addieren Sie -45 zu 49.

$$x^{2}+14x+49=4$$

Faktor x^{2}+14x+49. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+7\right)^{2}=4$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Vereinfachen.

$$x+7=2 x+7=-2$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-5 x=-9$$