x^2+14x+32=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 14 x + 32 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\sqrt{17}-7\approx -2,876894374$$

$$x=-\left(\sqrt{17}+7\right)\approx -11,123105626$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+14x+32=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 14 und c durch 32, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 32}}{2}$$

14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 32}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 32.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-128}}{2}$$

Addieren Sie 196 zu -128.

$$x=\frac{-14±\sqrt{68}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 68.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{17}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±2\sqrt{17}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -14 zu 2\sqrt{17}.

$$x=\frac{2\sqrt{17}-14}{2}$$

Dividieren Sie -14+2\sqrt{17} durch 2.

$$x=\sqrt{17}-7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±2\sqrt{17}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{17} von -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}-14}{2}$$

Dividieren Sie -14-2\sqrt{17} durch 2.

$$x=-\sqrt{17}-7$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{17}-7 x=-\sqrt{17}-7$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+14x+32=0$$

32 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+14x+32-32=-32$$

Die Subtraktion von 32 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+14x=-32$$

Dividieren Sie 14, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 7 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 7 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+14x+7^{2}=-32+7^{2}$$

7 zum Quadrat.

$$x^{2}+14x+49=-32+49$$

Addieren Sie -32 zu 49.

$$x^{2}+14x+49=17$$

Faktor x^{2}+14x+49. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+7\right)^{2}=17$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{17}$$

Vereinfachen.

$$x+7=\sqrt{17} x+7=-\sqrt{17}$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{17}-7 x=-\sqrt{17}-7$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{17}-7\approx -2,876894374$$

$$x=-\sqrt{17}-7\approx -11,123105626$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+14x+32=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 14 und c durch 32, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 32}}{2}$$

14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 32}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 32.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-128}}{2}$$

Addieren Sie 196 zu -128.

$$x=\frac{-14±\sqrt{68}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 68.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{17}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±2\sqrt{17}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -14 zu 2\sqrt{17}.

$$x=\frac{2\sqrt{17}-14}{2}$$

Dividieren Sie -14+2\sqrt{17} durch 2.

$$x=\sqrt{17}-7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±2\sqrt{17}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{17} von -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}-14}{2}$$

Dividieren Sie -14-2\sqrt{17} durch 2.

$$x=-\sqrt{17}-7$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{17}-7 x=-\sqrt{17}-7$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+14x+32=0$$

32 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+14x+32-32=-32$$

Die Subtraktion von 32 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+14x=-32$$

Dividieren Sie 14, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 7 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 7 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+14x+7^{2}=-32+7^{2}$$

7 zum Quadrat.

$$x^{2}+14x+49=-32+49$$

Addieren Sie -32 zu 49.

$$x^{2}+14x+49=17$$

Faktor x^{2}+14x+49. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+7\right)^{2}=17$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{17}$$

Vereinfachen.

$$x+7=\sqrt{17} x+7=-\sqrt{17}$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{17}-7 x=-\sqrt{17}-7$$