x^2+10x+14=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 10 x + 14 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\sqrt{11}-5\approx -1,68337521$$

$$x=-\left(\sqrt{11}+5\right)\approx -8,31662479$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+10x+14=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 10 und c durch 14, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 14}}{2}$$

10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 14}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 14.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-56}}{2}$$

Addieren Sie 100 zu -56.

$$x=\frac{-10±\sqrt{44}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 44.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-10}{2}$$

Dividieren Sie -10+2\sqrt{11} durch 2.

$$x=\sqrt{11}-5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{11} von -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-10}{2}$$

Dividieren Sie -10-2\sqrt{11} durch 2.

$$x=-\sqrt{11}-5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{11}-5 x=-\sqrt{11}-5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+10x+14=0$$

14 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+10x+14-14=-14$$

Die Subtraktion von 14 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+10x=-14$$

Dividieren Sie 10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-14+5^{2}$$

5 zum Quadrat.

$$x^{2}+10x+25=-14+25$$

Addieren Sie -14 zu 25.

$$x^{2}+10x+25=11$$

Faktor x^{2}+10x+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+5\right)^{2}=11$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

Vereinfachen.

$$x+5=\sqrt{11} x+5=-\sqrt{11}$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{11}-5 x=-\sqrt{11}-5$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{11}-5\approx -1,68337521$$

$$x=-\sqrt{11}-5\approx -8,31662479$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+10x+14=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 10 und c durch 14, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 14}}{2}$$

10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 14}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 14.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-56}}{2}$$

Addieren Sie 100 zu -56.

$$x=\frac{-10±\sqrt{44}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 44.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-10}{2}$$

Dividieren Sie -10+2\sqrt{11} durch 2.

$$x=\sqrt{11}-5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{11} von -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-10}{2}$$

Dividieren Sie -10-2\sqrt{11} durch 2.

$$x=-\sqrt{11}-5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{11}-5 x=-\sqrt{11}-5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+10x+14=0$$

14 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+10x+14-14=-14$$

Die Subtraktion von 14 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+10x=-14$$

Dividieren Sie 10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-14+5^{2}$$

5 zum Quadrat.

$$x^{2}+10x+25=-14+25$$

Addieren Sie -14 zu 25.

$$x^{2}+10x+25=11$$

Faktor x^{2}+10x+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+5\right)^{2}=11$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

Vereinfachen.

$$x+5=\sqrt{11} x+5=-\sqrt{11}$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{11}-5 x=-\sqrt{11}-5$$