x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2 lösen

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(x^{2}-2x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Um eine Potenz einer Zahl zu potenzieren, multiplizieren Sie die Exponenten. Multiplizieren Sie 2 mit 2, um 4 zu erhalten.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Um Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren, addieren Sie ihre Exponenten. Addieren Sie 2 und 1, um 3 zu erhalten.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Kombinieren Sie x^{2} und 4x^{2}, um 5x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

\left(x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Addieren Sie 10 und 1, um 11 zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

x^{2}-2x-3 zum Quadrat.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Kombinieren Sie x^{2} und -2x^{2}, um -x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Kombinieren Sie 2x und 12x, um 14x zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Addieren Sie 11 und 9, um 20 zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Subtrahieren Sie 20 von beiden Seiten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Auf beiden Seiten x^{2} addieren.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Kombinieren Sie 5x^{2} und x^{2}, um 6x^{2} zu erhalten.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Subtrahieren Sie 14x von beiden Seiten.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Subtrahieren Sie x^{4} von beiden Seiten.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Kombinieren Sie x^{4} und -x^{4}, um 0 zu erhalten.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Auf beiden Seiten 4x^{3} addieren.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Kombinieren Sie -4x^{3} und 4x^{3}, um 0 zu erhalten.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$3x^{2}-10-7x=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$3x^{2}-7x-10=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-10 b=3$$

3x^{2}-7x-10 als \left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Klammern Sie x in 3x^{2}-10x aus.

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-10 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-10=0 und x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(x^{2}-2x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Um eine Potenz einer Zahl zu potenzieren, multiplizieren Sie die Exponenten. Multiplizieren Sie 2 mit 2, um 4 zu erhalten.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Um Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren, addieren Sie ihre Exponenten. Addieren Sie 2 und 1, um 3 zu erhalten.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Kombinieren Sie x^{2} und 4x^{2}, um 5x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

\left(x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Addieren Sie 10 und 1, um 11 zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

x^{2}-2x-3 zum Quadrat.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Kombinieren Sie x^{2} und -2x^{2}, um -x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Kombinieren Sie 2x und 12x, um 14x zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Addieren Sie 11 und 9, um 20 zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Subtrahieren Sie 20 von beiden Seiten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Auf beiden Seiten x^{2} addieren.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Kombinieren Sie 5x^{2} und x^{2}, um 6x^{2} zu erhalten.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Subtrahieren Sie 14x von beiden Seiten.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Subtrahieren Sie x^{4} von beiden Seiten.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Kombinieren Sie x^{4} und -x^{4}, um 0 zu erhalten.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Auf beiden Seiten 4x^{3} addieren.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Kombinieren Sie -4x^{3} und 4x^{3}, um 0 zu erhalten.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}-14x-20=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch -14 und c durch -20, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -20.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 196 zu 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{14±26}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±26}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 26.

$$x=\frac{40}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{40}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{10}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±26}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 26 von 14.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Dividieren Sie -12 durch 12.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(x^{2}-2x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Um eine Potenz einer Zahl zu potenzieren, multiplizieren Sie die Exponenten. Multiplizieren Sie 2 mit 2, um 4 zu erhalten.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Um Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren, addieren Sie ihre Exponenten. Addieren Sie 2 und 1, um 3 zu erhalten.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Kombinieren Sie x^{2} und 4x^{2}, um 5x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

\left(x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Addieren Sie 10 und 1, um 11 zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

x^{2}-2x-3 zum Quadrat.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Kombinieren Sie x^{2} und -2x^{2}, um -x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Kombinieren Sie 2x und 12x, um 14x zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Addieren Sie 11 und 9, um 20 zu erhalten.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Auf beiden Seiten x^{2} addieren.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Kombinieren Sie 5x^{2} und x^{2}, um 6x^{2} zu erhalten.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Subtrahieren Sie 14x von beiden Seiten.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

Subtrahieren Sie x^{4} von beiden Seiten.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

Kombinieren Sie x^{4} und -x^{4}, um 0 zu erhalten.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

Auf beiden Seiten 4x^{3} addieren.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

Kombinieren Sie -4x^{3} und 4x^{3}, um 0 zu erhalten.

$$6x^{2}-14x=20$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{20}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

Addieren Sie \frac{10}{3} zu \frac{49}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

Addieren Sie \frac{7}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$