x^2+(x+10)^2=50^2 lösen

$$x ^ { 2 } + ( x + 10 ) ^ { 2 } = 50 ^ { 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=-40$$

$$x=30$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(x+10\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+x^{2}+20x+100=50^{2}$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}+20x+100=50^{2}$$

Potenzieren Sie 50 mit 2, und erhalten Sie 2500.

$$2x^{2}+20x+100=2500$$

Subtrahieren Sie 2500 von beiden Seiten.

$$2x^{2}+20x+100-2500=0$$

Subtrahieren Sie 2500 von 100, um -2400 zu erhalten.

$$2x^{2}+20x-2400=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$x^{2}+10x-1200=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-1200 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=1\left(-1200\right)=-1200$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -1200 ergeben.

$$-1,1200 -2,600 -3,400 -4,300 -5,240 -6,200 -8,150 -10,120 -12,100 -15,80 -16,75 -20,60 -24,50 -25,48 -30,40$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+1200=1199 -2+600=598 -3+400=397 -4+300=296 -5+240=235 -6+200=194 -8+150=142 -10+120=110 -12+100=88 -15+80=65 -16+75=59 -20+60=40 -24+50=26 -25+48=23 -30+40=10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=-30 b=40$$

x^{2}+10x-1200 als \left(x^{2}-30x\right)+\left(40x-1200\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-30x\right)+\left(40x-1200\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 40 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-30\right)+40\left(x-30\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-30 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-30\right)\left(x+40\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-30=0 und x+40=0.

$$x=30 x=-40$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(x+10\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+x^{2}+20x+100=50^{2}$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}+20x+100=50^{2}$$

Potenzieren Sie 50 mit 2, und erhalten Sie 2500.

$$2x^{2}+20x+100=2500$$

Subtrahieren Sie 2500 von beiden Seiten.

$$2x^{2}+20x+100-2500=0$$

Subtrahieren Sie 2500 von 100, um -2400 zu erhalten.

$$2x^{2}+20x-2400=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 20 und c durch -2400, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 2\left(-2400\right)}}{2\times 2}$$

20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 2\left(-2400\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-8\left(-2400\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -2400.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+19200}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 400 zu 19200.

$$x=\frac{-20±\sqrt{19600}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 19600.

$$x=\frac{-20±140}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-20±140}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±140}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 140.

$$x=\frac{120}{4}$$

Dividieren Sie 120 durch 4.

$$x=30$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±140}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 140 von -20.

$$x=-\frac{160}{4}$$

Dividieren Sie -160 durch 4.

$$x=-40$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=30 x=-40$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(x+10\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+x^{2}+20x+100=50^{2}$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}+20x+100=50^{2}$$

Potenzieren Sie 50 mit 2, und erhalten Sie 2500.

$$2x^{2}+20x+100=2500$$

Subtrahieren Sie 100 von beiden Seiten.

$$2x^{2}+20x=2500-100$$

Subtrahieren Sie 100 von 2500, um 2400 zu erhalten.

$$2x^{2}+20x=2400$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+20x}{2}=\frac{2400}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{20}{2}x=\frac{2400}{2}$$

Dividieren Sie 20 durch 2.

$$x^{2}+10x=\frac{2400}{2}$$

Dividieren Sie 2400 durch 2.

$$x^{2}+10x=1200$$

Dividieren Sie 10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+10x+5^{2}=1200+5^{2}$$

5 zum Quadrat.

$$x^{2}+10x+25=1200+25$$

Addieren Sie 1200 zu 25.

$$x^{2}+10x+25=1225$$

Faktor x^{2}+10x+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+5\right)^{2}=1225$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{1225}$$

Vereinfachen.

$$x+5=35 x+5=-35$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=30 x=-40$$