x^2+sqrt{6}x+5=0 lösen

$$x ^ { 2 } + \sqrt { 6 } x + 5 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}\approx -1,224744871+1,870828693i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}\approx -1,224744871-1,870828693i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch \sqrt{6} und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

\sqrt{6} zum Quadrat.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-4\times 5}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-20}}{2}$$

Addieren Sie 6 zu -20.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{-14}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -14.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -\sqrt{6} zu i\sqrt{14}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{14} von -\sqrt{6}.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+\sqrt{6}x=-5$$

Dividieren Sie \sqrt{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{\sqrt{6}}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{\sqrt{6}}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-5+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}$$

\frac{\sqrt{6}}{2} zum Quadrat.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-5+\frac{3}{2}$$

Addieren Sie -5 zu \frac{3}{2}.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Faktor x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{2}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{14}i}{2} x+\frac{\sqrt{6}}{2}=-\frac{\sqrt{14}i}{2}$$

\frac{\sqrt{6}}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$