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6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 2,3.
6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit 3x+1 zu multiplizieren.
15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12
Kombinieren Sie 6x und 9x, um 15x zu erhalten.
15x+3-2x+4=6x^{2}-12
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -2 mit x-2 zu multiplizieren.
13x+3+4=6x^{2}-12
Kombinieren Sie 15x und -2x, um 13x zu erhalten.
13x+7=6x^{2}-12
Addieren Sie 3 und 4, um 7 zu erhalten.
13x+7-6x^{2}=-12
Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.
13x+7-6x^{2}+12=0
Auf beiden Seiten 12 addieren.
13x+19-6x^{2}=0
Addieren Sie 7 und 12, um 19 zu erhalten.
-6x^{2}+13x+19=0
Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.
a+b=13 ab=-6\times 19=-114
Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -6x^{2}+ax+bx+19 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.
-1,114 -2,57 -3,38 -6,19
Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -114 ergeben.
-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13
Die Summe für jedes Paar berechnen.
a=19 b=-6
Die Lösung ist das Paar, das die Summe 13 ergibt.
\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)
-6x^{2}+13x+19 als \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right) umschreiben.
-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)
Klammern Sie -x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.
\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)
Klammern Sie den gemeinsamen Term 6x-19 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.
x=\frac{19}{6} x=-1
Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 6x-19=0 und -x-1=0.
6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 2,3.
6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit 3x+1 zu multiplizieren.
15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12
Kombinieren Sie 6x und 9x, um 15x zu erhalten.
15x+3-2x+4=6x^{2}-12
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -2 mit x-2 zu multiplizieren.
13x+3+4=6x^{2}-12
Kombinieren Sie 15x und -2x, um 13x zu erhalten.
13x+7=6x^{2}-12
Addieren Sie 3 und 4, um 7 zu erhalten.
13x+7-6x^{2}=-12
Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.
13x+7-6x^{2}+12=0
Auf beiden Seiten 12 addieren.
13x+19-6x^{2}=0
Addieren Sie 7 und 12, um 19 zu erhalten.
-6x^{2}+13x+19=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -6, b durch 13 und c durch 19, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}
13 zum Quadrat.
x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}
Multiplizieren Sie -4 mit -6.
x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}
Multiplizieren Sie 24 mit 19.
x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}
Addieren Sie 169 zu 456.
x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 625.
x=\frac{-13±25}{-12}
Multiplizieren Sie 2 mit -6.
x=\frac{12}{-12}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±25}{-12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -13 zu 25.
x=-1
Dividieren Sie 12 durch -12.
x=-\frac{38}{-12}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±25}{-12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 25 von -13.
x=\frac{19}{6}
Verringern Sie den Bruch \frac{-38}{-12} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.
x=-1 x=\frac{19}{6}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 2,3.
6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit 3x+1 zu multiplizieren.
15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12
Kombinieren Sie 6x und 9x, um 15x zu erhalten.
15x+3-2x+4=6x^{2}-12
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -2 mit x-2 zu multiplizieren.
13x+3+4=6x^{2}-12
Kombinieren Sie 15x und -2x, um 13x zu erhalten.
13x+7=6x^{2}-12
Addieren Sie 3 und 4, um 7 zu erhalten.
13x+7-6x^{2}=-12
Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.
13x-6x^{2}=-12-7
Subtrahieren Sie 7 von beiden Seiten.
13x-6x^{2}=-19
Subtrahieren Sie 7 von -12, um -19 zu erhalten.
-6x^{2}+13x=-19
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}
Dividieren Sie beide Seiten durch -6.
x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}
Division durch -6 macht die Multiplikation mit -6 rückgängig.
x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}
Dividieren Sie 13 durch -6.
x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}
Dividieren Sie -19 durch -6.
x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}
Dividieren Sie -\frac{13}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{13}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{13}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{13}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}
Addieren Sie \frac{19}{6} zu \frac{169}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}
Faktor x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}
Vereinfachen.
x=\frac{19}{6} x=-1
Addieren Sie \frac{13}{12} zu beiden Seiten der Gleichung.