x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2 lösen

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit 3x+1 zu multiplizieren.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Kombinieren Sie 6x und 9x, um 15x zu erhalten.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -2 mit x-2 zu multiplizieren.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Kombinieren Sie 15x und -2x, um 13x zu erhalten.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Addieren Sie 3 und 4, um 7 zu erhalten.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Auf beiden Seiten 12 addieren.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Addieren Sie 7 und 12, um 19 zu erhalten.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -6x^{2}+ax+bx+19 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -114 ergeben.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 13 ergibt.

$$a=19 b=-6$$

-6x^{2}+13x+19 als \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right) umschreiben.

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 6x-19 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 6x-19=0 und -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit 3x+1 zu multiplizieren.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Kombinieren Sie 6x und 9x, um 15x zu erhalten.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -2 mit x-2 zu multiplizieren.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Kombinieren Sie 15x und -2x, um 13x zu erhalten.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Addieren Sie 3 und 4, um 7 zu erhalten.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Auf beiden Seiten 12 addieren.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Addieren Sie 7 und 12, um 19 zu erhalten.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -6, b durch 13 und c durch 19, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

13 zum Quadrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplizieren Sie 24 mit 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Addieren Sie 169 zu 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±25}{-12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -13 zu 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Dividieren Sie 12 durch -12.

$$x=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±25}{-12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 25 von -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-38}{-12} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{19}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit 3x+1 zu multiplizieren.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Kombinieren Sie 6x und 9x, um 15x zu erhalten.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -2 mit x-2 zu multiplizieren.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Kombinieren Sie 15x und -2x, um 13x zu erhalten.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Addieren Sie 3 und 4, um 7 zu erhalten.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Subtrahieren Sie 7 von beiden Seiten.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Subtrahieren Sie 7 von -12, um -19 zu erhalten.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Division durch -6 macht die Multiplikation mit -6 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Dividieren Sie 13 durch -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Dividieren Sie -19 durch -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Dividieren Sie -\frac{13}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{13}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{13}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{13}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Addieren Sie \frac{19}{6} zu \frac{169}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Addieren Sie \frac{13}{12} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$