u^2-20u-47=0 lösen

$$u ^ { 2 } - 20 u - 47 = 0$$

Nach u auflösen

$$u=7\sqrt{3}+10\approx 22,124355653$$

$$u=10-7\sqrt{3}\approx -2,124355653$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$u^{2}-20u-47=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -20 und c durch -47, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\left(-47\right)}}{2}$$

-20 zum Quadrat.

$$u=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\left(-47\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -47.

$$u=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+188}}{2}$$

Addieren Sie 400 zu 188.

$$u=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{588}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 588.

$$u=\frac{-\left(-20\right)±14\sqrt{3}}{2}$$

Das Gegenteil von -20 ist 20.

$$u=\frac{20±14\sqrt{3}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung u=\frac{20±14\sqrt{3}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 20 zu 14\sqrt{3}.

$$u=\frac{14\sqrt{3}+20}{2}$$

Dividieren Sie 20+14\sqrt{3} durch 2.

$$u=7\sqrt{3}+10$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung u=\frac{20±14\sqrt{3}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14\sqrt{3} von 20.

$$u=\frac{20-14\sqrt{3}}{2}$$

Dividieren Sie 20-14\sqrt{3} durch 2.

$$u=10-7\sqrt{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$u=7\sqrt{3}+10 u=10-7\sqrt{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$u^{2}-20u-47=0$$

Addieren Sie 47 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$u^{2}-20u-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Die Subtraktion von -47 von sich selbst ergibt 0.

$$u^{2}-20u=-\left(-47\right)$$

Subtrahieren Sie -47 von 0.

$$u^{2}-20u=47$$

Dividieren Sie -20, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -10 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -10 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$u^{2}-20u+\left(-10\right)^{2}=47+\left(-10\right)^{2}$$

-10 zum Quadrat.

$$u^{2}-20u+100=47+100$$

Addieren Sie 47 zu 100.

$$u^{2}-20u+100=147$$

Faktor u^{2}-20u+100. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(u-10\right)^{2}=147$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(u-10\right)^{2}}=\sqrt{147}$$

Vereinfachen.

$$u-10=7\sqrt{3} u-10=-7\sqrt{3}$$

Addieren Sie 10 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$u=7\sqrt{3}+10 u=10-7\sqrt{3}$$