t^2-24t-180=0 lösen

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Nach t auflösen

$$t=-6$$

$$t=30$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor t^{2}-24t-180 mithilfe der Formel t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-24 ab=-180$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -180 ergeben.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -24 ergibt.

$$a=-30 b=6$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(t+a\right)\left(t+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie t-30=0 und t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als t^{2}+at+bt-180 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -180 ergeben.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -24 ergibt.

$$a=-30 b=6$$

t^{2}-24t-180 als \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right) umschreiben.

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

Klammern Sie t in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term t-30 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie t-30=0 und t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -24 und c durch -180, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

-24 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Addieren Sie 576 zu 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

Das Gegenteil von -24 ist 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{24±36}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 24 zu 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Dividieren Sie 60 durch 2.

$$t=30$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{24±36}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 36 von 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie -12 durch 2.

$$t=-6$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=30 t=-6$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Addieren Sie 180 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Die Subtraktion von -180 von sich selbst ergibt 0.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Subtrahieren Sie -180 von 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Dividieren Sie -24, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -12 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -12 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

-12 zum Quadrat.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Addieren Sie 180 zu 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Faktor t^{2}-24t+144. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Vereinfachen.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Addieren Sie 12 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t=30 t=-6$$