r^2-22r-7=0 lösen

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

Nach r auflösen

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22,313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0,313708499$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -22 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

-22 zum Quadrat.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

Addieren Sie 484 zu 28.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 512.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

Das Gegenteil von -22 ist 22.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 22 zu 16\sqrt{2}.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

Dividieren Sie 22+16\sqrt{2} durch 2.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16\sqrt{2} von 22.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

Dividieren Sie 22-16\sqrt{2} durch 2.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$r^{2}-22r=7$$

Dividieren Sie -22, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -11 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -11 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

-11 zum Quadrat.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

Addieren Sie 7 zu 121.

$$r^{2}-22r+121=128$$

Faktor r^{2}-22r+121. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

Vereinfachen.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

Addieren Sie 11 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$